\subsection{平行四边形及其性质}\label{subsec:czjh1-4-3}

两组对边分别平行的四边形叫做\zhongdian{平行四边形}。
如图 \ref{fig:czjh1-4-8} 四边形 $ABCD$  中， $AB \pingxing DC$， $AD \pingxing BC$，
那么四边形 $ABCD$ 是平行四边形。
平行四边形用符号 “$\pxsbx$” 表示， 平行四边形 $ABCD$ 记作 “$\pxsbx ABCD$”，
读作 “平行四边形 $ABCD$”。

\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \begin{minipage}[b]{7cm}
        \centering
        \input{../pic/czjh1-ch4-08}
        \caption{}\label{fig:czjh1-4-8}
    \end{minipage}
    \qquad
    \begin{minipage}[b]{7cm}
        \centering
        \input{../pic/czjh1-ch4-09}
        \caption{}\label{fig:czjh1-4-9}
    \end{minipage}
\end{figure}

下面研究平行四边形的一些性质。
我们已经学过了三角形，如果画出平行四边形的一条对角线，
就把平行四边形分成两个三角形，可以利用三角形的性质来研究平行四边形。

首先研究平行四边形的两组对边、两组对角的关系。

作 $\pxsbx ABCD$ 的对角线 $AC$， 将它分成 $\triangle ABC$ 和 $\triangle CDA$（图 \ref{fig:czjh1-4-9}）。

$\because$ \quad $AB \pingxing CD$， $AD \pingxing BC$，

$\therefore$ \quad $\angle 1 = \angle 3$， $\angle 2 = \angle 4$。

又 $\because$ \quad $AC = CA$，

$\therefore$ \quad $\triangle ABC \quandeng \triangle CDA$。

$\therefore$ \quad $AB = CD$， $CB = AD$， $\angle B = \angle D$。

又 $\because$ \quad $\angle 1 + \angle 4 = \angle 2 + \angle 3$，

$\therefore$ \quad $\angle A = \angle C$。

由此得到：

\begin{dingli}[平行四边形性质定理1]
    平行四边形的对角相等。
\end{dingli}

\begin{dingli}[平行四边形性质定理2]
    平行四边形的对边相等。
\end{dingli}

如图 \ref{fig:czjh1-4-10}， $L_1 \pingxing l_2$， $AB$、 $CD$ 是 $l_1$、$l_2$ 之间的任意两条平行线段，
显然， $ABDC$ 是平行四边形。 因为平行四边形的对边相等， 所以 $AB = CD$。 由此得到：

\begin{tuilun}[推论]
    夹在两条平行线间的平行线段相等。
\end{tuilun}

\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \begin{minipage}[b]{7cm}
        \centering
        \input{../pic/czjh1-ch4-10}
        \caption{}\label{fig:czjh1-4-10}
    \end{minipage}
    \qquad
    \begin{minipage}[b]{7cm}
        \centering
        \input{../pic/czjh1-ch4-11}
        \caption{}\label{fig:czjh1-4-11}
    \end{minipage}
\end{figure}


从推论可以知道，如果两条直线平行，那么一条直线上所有各点，到另一条直线的距离都相等。
两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做\zhongdian{这两条平行线的距离}。
如图 \ref{fig:czjh1-4-11}， $l_1 \pingxing l_2$，  $A$ 是 $l_1$ 上的任意一点， $AB \perp l_2$，
$B$ 是垂足， 线段 $AB$ 的长就是 $l_1$、 $l_2$ 的距离。

平行四边形还有下面性质：

\begin{dingli}[平行四边形性质定理3]
    平行四边形的对角线互相平分。
\end{dingli}

\begin{wrapfigure}[7]{r}{5cm}
    \centering
    \input{../pic/czjh1-ch4-12}
    \caption{}\label{fig:czjh1-4-12}
\end{wrapfigure}


已知： $\pxsbx ABCD$， 对角线 $AC$、$BD$ 相交于点 $O$ （图\ref{fig:czjh1-4-12}）。

求证： $OA = OC$， $OB = OD$。

\zhengming $\because$ \quad 在 $\pxsbx ABCD$ 中， $AB \pingxing CD$，

$\therefore$ \quad $\angle 1 = \angle 4$， $\angle 2 = \angle 3$。

又 $\because$ \quad $AB = CD$ （平行四边形的对边相等），

$\therefore$ \quad $\triangle OAB \quandeng \triangle OCD$。

$\therefore$ \quad $OA = OC$， $OB = OD$。

我们知道， 三角形具有稳定性，而四边形就没有稳定性。
可以利用四边形的不稳定性制成活动的平行四边形框（图 \ref{fig:czjh1-4-13}），
汽车的防护链（图 \ref{fig:czjh1-4-14}）等。

\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \begin{minipage}[b]{8cm}
        \centering
        \includegraphics[width=7cm]{../pic/czjh1-ch4-13.png}
        \caption{}\label{fig:czjh1-4-13}
    \end{minipage}
    \qquad
    \begin{minipage}[b]{6cm}
        \centering
        \includegraphics[width=3cm]{../pic/czjh1-ch4-14.png}
        \caption{}\label{fig:czjh1-4-14}
    \end{minipage}
\end{figure}



\begin{wrapfigure}[8]{r}{6cm}
    \centering
    \input{../pic/czjh1-ch4-15}
    \caption{}\label{fig:czjh1-4-15}
\end{wrapfigure}

\liti 过 $\triangle ABC$ 的顶点 $A$、$B$、$C$，分别引对边的平行线，
它们两两相交于 $A'$、$B'$、$C'$。求证：$\triangle ABC$ 的三条高是
$\triangle A'B'C'$ 三边的垂直平分线。

已知：如图 \ref{fig:czjh1-4-15}， $C'B' \pingxing BC$， $C'A' \pingxing AC$， $B'A' \pingxing AB$；
$AD \perp BC$， $BE \perp CA$， $CF \perp AB$。

求证：$AD$、$BE$、$CF$ 分别是 $C'B'$、$C'A'$、$A'B'$ 的垂直平分线。

\zhengming $\because$ \quad $C'B' \pingxing BC$， $C'A' \pingxing AC$， $B'A' \pingxing AB$，

$\therefore$ \quad $BC = C'A$ （夹在两条平行线间的平行线段相等）。

同理 \quad $BC = AB'$

$\therefore$ \quad $C'A = AB'$。

又 $\because$ \quad $AD \perp BC$，

$\therefore$ \quad $AD \perp C'B'$。

所以． $AD$ 是 $C'B'$ 的垂直平分线。

同理 \quad $BE$、$CF$ 分别是 $C'A'$、$A'B'$ 的垂直平分线。


在前一章里，我们已经证明过三角形三边的垂直平分线交于一点，
由于例 1 中的 $\triangle A'B'C'$ 三边的垂直平分线就是 $\triangle ABC$ 的三条高。
可见，三角形的三条高也相交于一点。


\begin{wrapfigure}[8]{r}{5cm}
    \centering
    \input{../pic/czjh1-ch4-16}
    \caption{}\label{fig:czjh1-4-16}
\end{wrapfigure}

\liti 已知：$\pxsbx ABCD$ 中， 对角线 $AC$ 和 $BD$ 相交于点 $O$，
$M$、$N$ 分别是 $OA$、$OC$ 的中点（图 \ref{fig:czjh1-4-16}）。

求证：$BM = DN$， $BM \pingxing DN$。

\zhengming $\because$ \quad 四边形 $ABCD$ 是平行四边形，

$\therefore$ \quad $OB = OD$， $OA = OC$ （平行四边形的对角线互相平分）。

\begin{enhancedline}
$\because$ \quad $OM = \exdfrac{1}{2} OA$， $ON = \exdfrac{1}{2} OC$，

$\therefore$ \quad $OM = ON$。
\end{enhancedline}

又 $\because$ \quad $\angle MOB = \angle NOD$，

$\therefore$ \quad $\triangle MOB \quandeng \triangle NOD$。

$\therefore$ \quad $BM = DN$， $\angle BMO = \angle DNO$。

$\therefore$ \quad $BM \pingxing DN$。


\begin{lianxi}

\xiaoti{举出日常生活中常见的平行四边形的一些例子。}

\xiaoti{已知： 在 $\pxsbx ABCD$ 中， $AE \perp BC$， $CF \perp AD$， $E$、$F$ 是垂足。\\
    求证： $\triangle ABE \quandeng \triangle CDF$。
}

\xiaoti{如图 \ref{fig:czjh1-4-12}， 已知 $O$ 是 $\pxsbx ABCD$ 的对角线交点， 如果 $AC = 24\;\haomi$，
    $BD = 38\;\haomi$， $AD = 28\;\haomi$， 求 $\triangle OBC$ 的周长。
}

\end{lianxi}

